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法律研究判斷下列方程是否有實數根。如果存在實數根，則求出它們。
\( 8 x^{2}+2 x-3=0 \)
要做的事情
我們必須確定給定的二次方程是否有實數根。
解答
(i) 將給定的二次方程與二次方程的標準形式 $ax^2+bx+c=0$ 進行比較，得到：
$a=8, b=2$ 和 $c=-3$。
二次方程 $ax^2+bx+c=0$ 的標準形式的判別式為
$D=b^2-4ac$。
因此，
$D=(2)^2-4(8)(-3)=4+96=100$。
由於 $D>0$，給定的二次方程有兩個不同的實數根。
這意味著，
$x=\frac{-b\pm \sqrt{D}}{2a}$
$x=\frac{-2 \pm \sqrt{100}}{2(8)}$
$x=\frac{-2 \pm 10}{16}$
$x=\frac{-2+10}{16}$ 或 $x= \frac{-2-10}{16}$
$x=\frac{8}{16}$ 或 $x=\frac{-12}{16}$
$x=\frac{1}{2}$ 或 $x=\frac{-3}{4}$
給定二次方程的根為 $\frac{1}{2}$ 和 $-\frac{3}{4}$。
(ii) 將給定的二次方程與二次方程的標準形式 $ax^2+bx+c=0$ 進行比較，得到：
$a=-2, b=3$ 和 $c=2$。
二次方程 $ax^2+bx+c=0$ 的標準形式的判別式為
$D=b^2-4ac$。
因此，
$D=(3)^2-4(-2)(2)$
$=9+16$
$=25$.
由於 $D>0$，給定的二次方程有兩個不同的實數根。
這意味著，
$x=\frac{-b\pm \sqrt{D}}{2a}$
$x=\frac{-3 \pm \sqrt{25}}{2(-2)}$
$x=\frac{-3 \pm 5}{-4}$
$x=\frac{-3+5}{-4}$ 或 $x= \frac{-3-5}{-4}$
$x=\frac{2}{-4}$ 或 $x=\frac{-8}{-4}$
$x=-\frac{1}{2}$ 或 $x=2$
給定二次方程的根為 $-\frac{1}{2}$ 和 $2$。
(iii) 將給定的二次方程與二次方程的標準形式 $ax^2+bx+c=0$ 進行比較，得到：
$a=5, b=-2$ 和 $c=-10$。
二次方程 $ax^2+bx+c=0$ 的標準形式的判別式為
$D=b^2-4ac$。
因此，
$D=(-2)^2-4(5)(-10)$
$=4+200$
$=204$.
由於 $D>0$，給定的二次方程有兩個不同的實數根。
這意味著，
$x=\frac{-b\pm \sqrt{D}}{2a}$
$x=\frac{-(-2) \pm \sqrt{204}}{2(5)}$
$x=\frac{2 \pm 2\sqrt{51}}{10}$
$x=\frac{2(1+\sqrt{51})}{10}$ 或 $x= \frac{2(1-\sqrt{51})}{10}$
$x=\frac{1+\sqrt{51}}{5}$ 或 $x=\frac{1-\sqrt{51}}{5}$
給定二次方程的根為 $\frac{1+\sqrt{51}}{5}$ 和 $\frac{1-\sqrt{51}}{5}$。
(iv) $\frac{1}{2 x-3}+\frac{1}{x-5}=1$
$\frac{x-5+2 x-3}{(2 x-3)(x-5)}=1$
$\frac{3 x-8}{2 x^{2}-3x-10 x+15}=1$
$\frac{3 x-8}{2 x^{2}-13x+15}=1$
$3 x-8 =2 x^{2}-13 x+15$
$2 x^{2}-13 x-3 x+15+8 =0$
$2 x^{2}-16x+23=0$
將上述二次方程與二次方程的標準形式 $ax^2+bx+c=0$ 進行比較，得到：
$a=2, b=-16$ 和 $c=23$。
二次方程 $ax^2+bx+c=0$ 的標準形式的判別式為
$D=b^2-4ac$。
因此，
$D=(-16)^2-4(2)(23)$
$=256-184$
$=72$
由於 $D>0$，給定的二次方程有兩個不同的實數根。
這意味著，
$x=\frac{-b\pm \sqrt{D}}{2a}$
$x=\frac{-(-16) \pm \sqrt{72}}{2(2)}$
$x=\frac{16 \pm 6\sqrt{2}}{4}$
$x=\frac{2(8+3\sqrt{2})}{4}$ 或 $x= \frac{2(8-3\sqrt{2})}{4}$
$x=\frac{8+3\sqrt{2}}{2}$ 或 $x=\frac{8-3\sqrt{2}}{2}$
給定二次方程的根為 $\frac{8+3\sqrt{2}}{2}$ 和 $\frac{8-3\sqrt{2}}{2}$。
(v) 將給定的二次方程與二次方程的標準形式 $ax^2+bx+c=0$ 進行比較，得到：
$a=1, b=5 \sqrt{5}$ 和 $c=-70$。
二次方程 $ax^2+bx+c=0$ 的標準形式的判別式為
$D=b^2-4ac$。
因此，
$D=(5 \sqrt{5})^2-4(1)(-70)$
$=125+280$
$=405$.
由於 $D>0$，給定的二次方程有兩個不同的實數根。
這意味著，
$x=\frac{-b\pm \sqrt{D}}{2a}$
$x=\frac{-5 \sqrt{5} \pm \sqrt{405}}{2(1)}$
$x=\frac{-5 \sqrt{5}\pm 9\sqrt5}{2}$
$x=\frac{-5 \sqrt{5}+9 \sqrt{5}}{2}$ 或 $x= \frac{-5 \sqrt{5}-9 \sqrt{5}}{2}$
$x=\frac{4\sqrt{5}}{2}$ 或 $x=\frac{-14 \sqrt{5}}{2}$
$x=2\sqrt5$ 或 $x=-7\sqrt5$
給定二次方程的根為 $-7\sqrt5$ 和 $2\sqrt5$。
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