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法學判斷下列方程是否有實根。如果存在實根，則求出它們。
\( \frac{1}{2 x-3}+\frac{1}{x-5}=1, x ≠ \frac{3}{2}, 5 \)
已知
已知二次方程為\( \frac{1}{2 x-3}+\frac{1}{x-5}=1, x ≠ \frac{3}{2}, 5 \).
解題步驟
我們必須確定給定的二次方程是否有實根。
解答
$\frac{1}{2 x-3}+\frac{1}{x-5}=1$
$\frac{x-5+2 x-3}{(2 x-3)(x-5)}=1$
$\frac{3 x-8}{2 x^{2}-3x-10 x+15}=1$
$\frac{3 x-8}{2 x^{2}-13x+15}=1$
$3 x-8 =2 x^{2}-13 x+15$
$2 x^{2}-13 x-3 x+15+8 =0$
$2 x^{2}-16x+23=0$
將上述二次方程與二次方程標準形式$ax^2+bx+c=0$比較，得到：
$a=2, b=-16$ 和 $c=23$.
二次方程標準形式$ax^2+bx+c=0$的判別式為
$D=b^2-4ac$.
因此，
$D=(-16)^2-4(2)(23)$
$=256-184$
$=72$
由於 $D>0$，給定的二次方程有兩個不同的實根。
這意味著：
$x=\frac{-b\pm \sqrt{D}}{2a}$
$x=\frac{-(-16) \pm \sqrt{72}}{2(2)}$
$x=\frac{16 \pm 6\sqrt{2}}{4}$
$x=\frac{2(8+3\sqrt{2})}{4}$ 或 $x= \frac{2(8-3\sqrt{2})}{4}$
$x=\frac{8+3\sqrt{2}}{2}$ 或 $x=\frac{8-3\sqrt{2}}{2}$
給定二次方程的根是 $\frac{8+3\sqrt{2}}{2}$ 和 $\frac{8-3\sqrt{2}}{2}$。
更新於: 2022年10月10日
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