判斷下列方程是否有實數根。如果存在實數根，則求出它們。
\( x^{2}+5 \sqrt{5} x-70=0 \)

已知

已知二次方程為 \( x^{2}+5 \sqrt{5} x-70=0 \)。

需要做的事情

我們需要確定給定的二次方程是否有實數根。

解答

將給定的二次方程與二次方程的標準形式 $ax^2+bx+c=0$ 進行比較，得到：

$a=1, b=5 \sqrt{5}$ 和 $c=-70$。

二次方程 $ax^2+bx+c=0$ 的標準形式的判別式為

$D=b^2-4ac$。

因此，

$D=(5 \sqrt{5})^2-4(1)(-70)$

$=125+280$

$=405$.

由於 $D>0$，給定的二次方程有兩個不同的實數根。

這意味著，

$x=\frac{-b\pm \sqrt{D}}{2a}$

$x=\frac{-5 \sqrt{5} \pm \sqrt{405}}{2(1)}$ 

$x=\frac{-5 \sqrt{5}\pm 9\sqrt5}{2}$ 

$x=\frac{-5 \sqrt{5}+9 \sqrt{5}}{2}$ 或 $x= \frac{-5 \sqrt{5}-9 \sqrt{5}}{2}$

$x=\frac{4\sqrt{5}}{2}$ 或 $x=\frac{-14 \sqrt{5}}{2}$

$x=2\sqrt5$ 或 $x=-7\sqrt5$

給定二次方程的根為 $-7\sqrt5$ 和 $2\sqrt5$。 

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更新於: 2022年10月10日

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