如圖所示，四邊形$ABCD$外接於圓心為$O$的圓，使得邊$AB$、$BC$、$CD$和$DA$分別與圓相切於點$P$、$Q$、$R$和$S$。證明$AB\ +\ CD\ =\ BC\ +\ DA$。
已知：四邊形$ABCD$外接於圓心為O的圓，使得邊$AB$、$BC$、$CD$和$DA$分別與圓相切於點$P$、$Q$、$R$和$S$。
求證：$AB\ +\ CD\ =\ BC\ +\ DA$。
解答
由於從圓外一點引出的圓的兩條切線長相等，
$AP\ =\ AS\ \dotsc .( 1)$
$BP\ =\ BQ\ \dotsc .( 2)$
$CR\ =\ CQ\ \dotsc .( 3)$
$DR\ =\ DS\ \dotsc .( 4)$
將方程$( 1) ,\ ( 2) ,\ ( 3)$和$( 4)$相加，得到
$AP\ +\ BP\ +\ CR\ +\ DS\ =\ AS\ +\ BQ\ +\ CQ\ +\ DS$
$\therefore \ ( AP\ +\ BP) \ +\ ( CR\ +\ DR) \ =\ ( AS\ +\ DS) \ +\ ( BQ\ +\ CQ)$
$\therefore \ AB\ +\ CD\ =\ AD\ +\ BC$
$\therefore \ AB\ +\ CD\ =\ BC\ +\ DA\ \dotsc ..( 得證)$
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