已知$ABCD$是一個正方形。$E, F, G$和$H$分別是$AB, BC, CD$和$DA$上的點，且$AE = BF = CG = DH$。證明$EFGH$是一個正方形。

已知

$ABCD$是一個正方形。$E, F, G$和$H$分別是$AB, BC, CD$和$DA$上的點，且$AE = BF = CG = DH$。

證明

我們必須證明$EFGH$是一個正方形。

解答

設$AE = BF = CG = DH = x$，$BE = CF = DG = AH = y$

在$\triangle AEH$和$\triangle BFE$中，

$AE = BF$ (已知)

$\angle A = \angle B$

$AH = BE$

因此，根據SAS公理，

$\triangle AEH \cong \triangle BFE$

這意味著，

$\angle 1 = \angle 2$

$\angle 3 = \angle 4$

$\angle 1 + \angle 3 = 90^o$

$\angle 2 + \angle 4 = 90^o$

$\angle 1 + \angle 2 + \angle 3 + \angle 4 = 90^o + 90^o = 180^o$

$\angle 1 + \angle 4 + \angle 1 + \angle 4 = 180^o$

$2(\angle 1 + \angle 4) = 180^o$

$\angle 1 + \angle 4 = \frac{180^o}{2} = 90^o$

因此，

$\angle HEF = 180^o - 90^o = 90^o$

類似地，

$\angle F = \angle G = \angle H = 90^o$

這裡，四邊形$EFGH$的各邊相等，每個角都等於$90^o$

這意味著，

$EFGH$是一個正方形。

證畢。

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更新於：2022年10月10日

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