平行四邊形$ABCD$中，延長$AD$到$E$，使得$DE = DC = AD$，延長$EC$交$AB$的延長線於$F$。證明$BF = BC$。

已知

平行四邊形$ABCD$中，延長$AD$到$E$，使得$DE = DC = AD$，延長$EC$交$AB$的延長線於$F$。

求證

我們必須證明$BF = BC$。

解答

根據圖形：

在$\triangle ACE$中：

$O$和$D$分別是$AC$和$AE$的中點。

這意味著：

$DO \parallel EC$ 且 $OD \parallel FC$

$BD \parallel EF$

因此：

$AB = BF$

$AB = DC$ (平行四邊形的對邊相等)

這意味著：

$DC = BF$

在$\triangle EDC$和$\triangle CBF$中：

$DC = BF$

$\angle EDC = \angle CBF$ ($\angle EDC = \angle DAB$，$\angle DAB = \angle CBF$ 為同位角)

$\angle ECD = \angle CFB$ (同位角)

因此，根據ASA公理：

$\triangle EDC \cong \triangle CBF$

這意味著：

$DE = BC$ (全等三角形對應邊相等)

$DC = BC$

$AB = BC$

$BF = BC$ (因為$AB = BF$)

證畢。

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更新於：2022年10月10日

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