一個圓與四邊形ABCD的四條邊都相切。證明AB+CD=BC+DA。

已知：一個圓與四邊形ABCD的四條邊都相切。

要求：證明AB+CD=BC+DA。

因為給定的平行四邊形ABCD外切於圓，其邊在P、Q、R和S點與圓相切。

所以AP和AS是從外點A引出的圓的切線。

BP和BQ是從外點B引出的圓的切線。

CQ和CR是從外點C引出的圓的切線。

DR和DS是從外點D引出的圓的切線。

我們知道，從外點引出的圓的切線長度總是相等的。

所以 AP=AS … … … (1)

BP=BQ … … … (2)

CQ=CR … … … (3)

DR=DS … … … (4)

讓我們將(1)、(2)、(3)和(4)相加

AP+BP+CR+DR=AS+BQ+CQ+DS .......... (因為 AP+BP=AB，CR+DR=CD，AS+DS=AD，BQ+CQ=BC)

⇒ (AP+BP) + (CR+DR) = (AS+DS) + (BQ+CQ)

⇒ AB+CD=AD+BC