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法學由點A(-1, -1), B(-1, 4), C(5, 4)和D(5, -1)連線而成的四邊形ABCD是一個矩形。P、Q、R和S分別是AB、BC、CD和DA的中點。四邊形PQRS是正方形、矩形還是菱形？請說明理由。
已知
由點A(-1, -1), B(-1, 4), C(5, 4)和D(5, -1)連線而成的四邊形ABCD是一個矩形。P、Q、R和S分別是AB、BC、CD和DA的中點。
任務
我們需要確定PQRS是正方形、矩形還是菱形。
解答
連線PR和QS。設PR和QS的交點為O。
利用中點公式，我們得到：
P點的座標為\( \left(\frac{-2}{2}, \frac{3}{2}\right) \)
\( =(-1, \frac{3}{2}) \)
類似地：
Q點的座標為\( \left(\frac{-1+5}{2}, \frac{4+4}{2}\right) \)
\( = \left(\frac{4}{2}, \frac{8}{2}\right) \)
\( =(2,4) \)
R點的座標為\( \left(\frac{5+5}{2}, \frac{4-1}{2}\right) \)
\( = \left(\frac{10}{2}, \frac{3}{2}\right) \)
\( =(5, \frac{3}{2}) \)
S點的座標為\( \left(\frac{5-1}{2}, \frac{-1-1}{2}\right) \)
\( = \left(\frac{4}{2}, \frac{-2}{2}\right) \)
\( =(2,-1) \)
利用距離公式，我們得到：
\( PQ=\sqrt{(2+1)^{2}+\left(4-\frac{3}{2}\right)^{2}} \)
\( =\sqrt{(3)^{2}+\left(\frac{5}{2}\right)^{2}} \)
\( =\sqrt{9+\frac{25}{4}} \)
\( =\sqrt{\frac{36+25}{4}} \)
\( =\sqrt{\frac{61}{4}} \)
\( =\frac{\sqrt{61}}{2} \)
\( QR=\sqrt{(5-2)^{2}+\left(\frac{3}{2}-4\right)^{2}} \)
\( =\sqrt{(3)^{2}+\left(\frac{-5}{2}\right)^{2}} \)
\( =\sqrt{9+\frac{25}{4}} \)
\( =\sqrt{\frac{36+25}{4}} \)
\( =\sqrt{\frac{61}{4}} \)
\( =\frac{\sqrt{61}}{2} \)
O是PR的中點。
O的座標為\( \left(\frac{-1+5}{2},\left(\frac{3}{2}+\frac{3}{2}\right) \frac{1}{2}\right) \)
\( = \left(\frac{4}{2}, \frac{3}{2}\right) \)
\( =(2, \frac{3}{2}) \)
類似地：
O是QS的中點。
O的座標為\( \left(\frac{2+2}{2}, \frac{4+(-1)}{2}\right) \)
\( = \left(\frac{4}{2}, \frac{3}{2}\right) \)
\( =(2, \frac{3}{2}) \)
我們可以看到，兩種情況下O的座標相同，並且鄰邊也相等。
這意味著它可能是正方形或菱形。
\( PR=\sqrt{(5+1)^{2}+\left(\frac{3}{2}-\frac{3}{2}\right)^{2}} \)
\( =\sqrt{(6)^{2}+(0)^{2}} \)
\( =\sqrt{36+0} \)
\( =\sqrt{36} \)
\( =6 \)
\( QS=\sqrt{(2-2)^{2}+(-1-4)^{2}} \)
\( =\sqrt{(0)^{2}+(-5)^{2}} \)
\( =\sqrt{0+25} \)
\( =\sqrt{25} \)
\( =5 \)
這裡，對角線不相等。
因此，PQRS是菱形。
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