\(ABCD\)是一個四邊形，其中\(P、Q、R\)和\(S\)分別是邊\(AB、BC、CD\)和\(DA\)的中點（見圖8.29）。\(AC\)是一條對角線。證明：
(i) \(SR \parallel AC\) 且 \(SR = \frac{1}{2}AC\)
(ii) \(PQ = SR\)
(iii) \(PQRS\)是一個平行四邊形。

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已知

\(ABCD\)是一個四邊形，其中\(P、Q、R\)和\(S\)分別是邊\(AB、BC、CD\)和\(DA\)的中點。$AC$是一條對角線。

要求

我們必須證明：

(i) \(SR \parallel AC\) 且 \(SR = \frac{1}{2}AC\) (ii) \(PQ = SR\) (iii) \(PQRS\)是一個平行四邊形

解答

我們知道：

中點定理指出，連線三角形兩邊中點的線段平行於第三邊，並且長度是第三邊的一半。

(i) 在$\triangle DAC$中，$S$是$DA$的中點，$R$是$DC$的中點。因此，根據中點定理，

$SR\parallel AC$ 且 $SR=\frac{1}{2}AC$.....(i)

(ii) 在$\triangle BAC$中，$P$是$AB$的中點，$Q$是$BC$的中點。因此，根據中點定理，

$PQ\parallel AC$ 且 $PQ= \frac{1}{2}AC$。

$PQ=SR$ (由(i))

(iii) $PQ\parallel AC$ 且 $SR\parallel AC$。

因此，$PQ\parallel SR$ 且 $PQ=SR$。

對邊相等且平行的四邊形是平行四邊形。

因此，PQRS是一個平行四邊形。

證畢。

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更新於：2022年10月10日

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