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法律研究如圖所示，圓心為 O 的圓內接於四邊形 ABCD，且與邊 AB、BC、CD 和 DA 分別相切於點 P、Q、R 和 S。如果 AB=29 cm，AD=23 cm，∠B=90° 且 DS=5 cm，求圓的半徑。
$( A) \ 11$
$( B) \ 18$
$( C) \ 6$
$( D) \ 15$
已知：圓心為 O 的圓內接於四邊形 ABCD，分別與邊 AB、BC、CD 和 DA 相切於點 P、Q、R 和 S。
求解：求圓的半徑。
解：
如圖所示，
四邊形 ABCD 的四條邊與圓分別相切於 P、Q、R 和 S。
因此，AR 和 AQ 分別是圓在 R 和 Q 處的切線。
BP 和 BQ 分別是圓在 P 和 Q 處的切線。
CP 和 CS 分別是圓在 P 和 S 處的切線。
DR 和 DS 分別是圓在 R 和 S 處的切線。
∵ 從圓外一點引圓的兩條切線長相等。
∴ AR=AQ .......( 1)
$BP=BQ .............( 2)$
$CP=CS ..............( 3)$
$DR=DS ..............( 4)$
連線 PQ。
已知 AB=29 cm，AD=23 cm，∠B=90° 且 DS=5 cm。
⇒ DR=DS=5 cm
$AR=AD-DR=23-5=18\ cm$
由 (1) 得，AR=AQ=18 cm
已知 AB=29 cm
∴ BQ=AB-AQ=29-18=11 cm
由 (2) 得，
$BP=BQ=11\ cm$
在△PBQ 中，
$BP=BQ=11\ cm$
∠B=90°
這是一個直角三角形，
根據勾股定理，
$PQ^{2} =BP^{2} +BQ^{2}$
$\Rightarrow PQ^{2} =11^{2} +11^{2} =121+121=242=11\sqrt{2} \ cm$
在△OPQ 中，
OP 和 OQ 是圓的半徑。
∴ OP=OQ=r
且 PQ=11√2 cm
∴ 根據勾股定理，
$PQ^{2} =OP^{2} +OQ^{2}$
$\Rightarrow \left( 11\sqrt{2}\right)^{2} =r^{2} +r^{2} =2r^{2}$
$\Rightarrow r^{2} =121$
$\Rightarrow r=11\ cm$
∴ 圓的半徑為 11 cm。
∴ 選項 (A) 正確。
更新於： 2022-10-10
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