在一個等差數列中，前 $n$ 項的和為 $\frac{3n^2}{2}+\frac{13}{2}n$。求它的第 25 項。

已知

在一個等差數列中，前 $n$ 項的和為 $\frac{3n^2}{2}+\frac{13}{2}n$。

要求

我們必須找到給定等差數列的第 $25$ 項。

解答

$S_{n} =\frac{3n^2}{2}+\frac{13}{2}n$

當 $n=1$ 時，$S_{1} =\frac{3(1)^2}{2}+\frac{13}{2}(1)=\frac{3+13}{2}=\frac{16}{2}=8$

因此，第一項 $a=8$

當 $n=2$ 時，$S_{2} =\frac{3(2)^2}{2}+\frac{13}{2}(2)=\frac{12+26}{2}=\frac{38}{2}=19$

$\therefore$ 等差數列的第二項$=S_{2} -S_{1}$

$=19-8$

$=11$

等差數列的公差，$d=$第二項$-$第一項

$=11-8=3$

我們知道，

$a_{n}=a+(n-1)d$

$\therefore a_{25}=8+( 25-1) \times 3$

$=8+24\times 3$

$=8+72$

$=80$

因此，給定等差數列的第 $25$ 項是 $80$。 

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更新於: 2022年10月10日

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