等差數列(A.P.)前n項的和為$5n^2 + 3n$。如果它的第m項是168，求m的值。也求這個等差數列的第20項。

已知

等差數列(A.P.)前n項的和為$5n^{2} +3n$，其第m項為168。

要求

求m的值和該等差數列的第20項。

解答

$S_{n} =5n^{2} +3n$

當$n=1$時，$S_{1} =5\times 1^{2} +3\times 1=5+3=8$

因此，首項 $a=8$

當$n=2$時，$S_{2} =5\times 2^{2} +3\times 2=20+6=26$

$\therefore$ 等差數列的第二項$=S_{2} -S_{1} = 26 - 8 = 18$

$=26-8$

$=18$

等差數列的公差，$d=$第二項$-$首項$= 18 - 8 = 10$

$=18-8=10$

我們知道：

$a_{n}=a+(n-1)d$

$a_{m}=8+( m-1) \times 10$

$168=8+10m-10$

$10m=168+2$

$10m=170$

$m=17$

$a_{20}=8+( 20-1) \times 10$

$=8+19\times 10 = 198$

$=8+190$

$=198$

因此，m的值為17，該等差數列的第20項為198。

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更新於：2022年10月10日

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