等差數列前 $m$ 項的和為 $4m^2 – m$。如果它的第 $n$ 項為 107，求 $n$ 的值。此外，求該等差數列的第 21 項。

已知

等差數列前 $m$ 項的和為 $4m^2 – m$，且它的第 $n$ 項為 107。

要求

我們需要求出給定等差數列的 $n$ 值和第 21 項。

解答

$S_{m} =4m^{2} -m$

當 $m=1$ 時，$S_{1} =4\times 1^{2} -1=4-1=3$

因此，首項 $a=3$

當 $n=2$ 時，$S_{2} =4\times 2^{2} -2=16-2=14$

$\therefore$ 等差數列的第二項 $=S_{2} -S_{1}$

$=14-3$

$=11$

等差數列的公差，$d=$第二項 $-$ 首項

$=11-3=8$

我們知道，

$a_{m}=a+(m-1)d$

$a_{n}=3+( n-1) \times 8$

$107=3+8n-8$

$8n=107+5$

$8n=112$

$n=14$

$a_{21}=3+( 21-1) \times 8$

$=3+20\times 8$

$=3+160$

$=163$

因此，$n$ 的值為 14，給定等差數列的第 21 項為 163。 

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更新於: 2022年10月10日

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