如果一個等差數列前 $n$ 項的和為 $\frac{1}{2}(3n^2 + 7n)$，求其第 $n$ 項。然後寫出其第 20 項。

已知

一個等差數列前 $n$ 項的和為 $\frac{1}{2}(3n^2 + 7n)$。

要求

我們需要求出給定等差數列的第 $n$ 項和第 20 項。

解答

$S_{n} =5n^{2} +3n$

當 $n=1$ 時，$S_{1} =\frac{1}{2}[3(1)^2 + 7(1)]=\frac{1}{2}(10)=5$

因此，首項 $a=5$

當 $n=2$ 時，$S_{2} =\frac{1}{2}[3(2)^2 + 7(2)]=\frac{1}{2}(26)=13$

$\therefore$ 等差數列的第二項 $=S_{2} -S_{1}$

$=13-5$

$=8$

等差數列的公差，$d=$第二項 $-$ 首項

$=8-5=3$

我們知道，

$a_{n}=a+(n-1)d$

$a_{n}=5+( n-1) \times 3$

$=5+3n-3$

$=3n+2$

$a_{20}=5+( 20-1) \times 3$

$=5+19\times 3$

$=5+57$

$=62$

因此，第 $n$ 項為 $3n+2$，給定等差數列的第 20 項為 62。

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更新時間: 2022年10月10日

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