等差數列（A.P.）的第 14 項是其第 8 項的兩倍。如果它的第 6 項是 -8，則求其前 20 項的和。

已知：等差數列的第 14 項是其第 8 項的兩倍，且其第 6 項為 -8。

要求：求其前 20 項的和。

已知：

$a_{14} =2.a_{8}$

並且 $a_{6} =-8$

假設給定等差數列的第一項為 $a$，公差為 $d$。

則其第 $n$ 項為：

$a_{n} =a+\left( n-1\right) d$

$a_{14} =a+\left( 14-1\right) d$

$a_{14} =a+13d$

類似地，

$a_{8} =a+7d$

並且 $a_{6} =a+5d$

$\Rightarrow a+5d=-8\ \ \ ............\left( 1\right)   \ \ \left( \because a_{6} =-8\ 已知\ \right)$

並且 $a_{14} =2.a_{8}$

$a+13d=2\left( a+7d\right)$

$\Rightarrow a+13d=2a+14d$

$\Rightarrow a+d=0\ \ \ \ .......................\left( 2\right)$

從 (1) 式中減去 (2) 式，

$a+5d-a-d=-8$

$\Rightarrow 4d=-8$

$\Rightarrow d=-\frac{8}{4} =-2$

將此值代入 (2) 式，

$a=2$

則 n 項的和，$S_{n} =\frac{n}{2}\left[ 2a+\left( n-1\right) d\right]$

$\therefore$ 其前 20 項的和為：

$S_{20} =\frac{20}{2}\left[ 2\times 2-2\left( 20-1\right)\right]$

$\Rightarrow S_{20} =10\left( 4-38\right)$

$\Rightarrow S_{20} =-340$

因此，其前 20 項的和為 -340。