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法律研究如果一個等差數列的第 10 項是 $\frac{1}{20}$，第 20 項是 $\frac{1}{10}$，則求其前 200 項的和。
已知：如果一個等差數列的第 10 項是 $\frac{1}{20}$，第 20 項是 $\frac{1}{10}$。
求解：求其前 200 項的和。
解答
如已知，$a_{10}=\frac{1}{20}$
$a_{20}=\frac{1}{30}$
求 $a_{200}=?$
我們知道等差數列的第 n 項由下式給出：
$a_n=a+(n-1)d$
這裡 $a$ 和 $d$ 分別是等差數列的首項和公差。
因此，$a+9d=\frac{1}{20}\ \ \ .....( 1)$
$a+19d=\frac{1}{30}$
$\Rightarrow (a+9d)+10d=\frac{1}{30}$
$\Rightarrow \frac{1}{20}+10d=\frac{1}{30}$ $[根據 ( 1)]$
$\Rightarrow 10d=\frac{1}{30}-\frac{1}{20}$
$\Rightarrow d=-\frac{1}{600}$
將 d 的值代入方程 (1)，我們有
$a+9( -\frac{1}{600})=\frac{1}{20}$
$\Rightarrow a=\frac{1}{20}+\frac{9}{600}=\frac{39}{600}$
$\therefore a_{200}=a+199d$
$\Rightarrow a_{200}=\frac{39}{600}+199(-\frac{1}{600})$
$\Rightarrow a_{200}=-\frac{160}{600}$
$=-\frac{4}{15}$
因此，給定等差數列的前 200 項的和是 $-\frac{4}{15}$。
更新於： 2022 年 10 月 10 日
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