一個等差數列前 9 項的和為 162。它的第 6 項與第 13 項之比為 1:2。求該等差數列的首項和第 15 項。

已知

一個等差數列前 9 項的和為 162。它的第 6 項與第 13 項之比為 1:2。

要求

我們需要求出該等差數列的首項和第 15 項。

解答

設該等差數列的首項為 $a$，公差為 $d$。

我們知道，

等差數列的第 n 項 $a_n=a+(n-1)d$

因此，

$a_{6}=a+(6-1)d$

$=a+5d$......(i)

$a_{13}=a+(13-1)d$

$=a+12d$......(ii)

根據題意，

$a_6 : a_{13}=(a+5d): (a+12d)$

$\frac{1}{2}=\frac{a+5d}{a+12d}$

$1(a+12d)=2(a+5d)$

$a+12d=2a+10d$

$2a-a=12d-10d$

$a=2d$......(iii)

等差數列前 n 項的和 $S_n=\frac{n}{2}(2a+(n-1)d)$

$S_9=\frac{9}{2}(2a+(9-1)d)$

$162=\frac{9}{2}(2a+8d)$

$18=a+4d$

$18=2d+4d$     (由 (iii) 得)

$6d=18$

$d=\frac{18}{6}$

$d=3$

因此，

$a=2(3)$

$a=6$

$\Rightarrow a_{15}=a+(15-1)d$

$=6+14(3)$

$=6+42$

$=48$

因此，該等差數列的首項和第 15 項分別為 6 和 48。   

教程點

更新時間： 2022 年 10 月 10 日

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