等差數列前 7 項的和為 63，其後 7 項的和為 161。求這個等差數列的第 28 項。

已知

等差數列前 7 項的和為 63，其後 7 項的和為 161。

求解

我們需要求出這個等差數列的第 28 項。

解法

設等差數列的首項為 $a$，公差為 $d$。

我們知道：

等差數列的第 n 項 $a_n=a+(n-1)d$

等差數列前 n 項的和 $S_n=\frac{n}{2}(2a+(n-1)d)$

因此：

$S_7=\frac{7}{2}(2a+(7-1)d)$

$63=\frac{7}{2}(2a+6d)$

$9=a+3d$

$a=9-3d$......(i)

後 7 項的和 = 161。這意味著：

前 14 項的和 = 161+63=224

$S_{14}=\frac{14}{2}(2a+(14-1)d)$

$224=7(2a+13d)$

$32=2(9-3d)+13d$ (由 (i) 式)

$32=18-6d+13d$

$7d=32-18$

$7d=14$

$d=2$

這意味著：

$a=9-3(2)$

$=9-6$

$=3$

$\Rightarrow a_{28}=a+(28-1)d$

$=3+27(2)$

$=3+54$

$=57$

因此，該等差數列的第 28 項為 57。  

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更新於：2022年10月10日

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