如果一個等差數列的 7 項和為 49，而 17 項和為 289，求該數列的 n 項和。

已知

一個等差數列的 7 項和為 49，而 17 項和為 289。

要求

我們必須求出該數列的 n 項和。

解

設首項為 $a$，公差為 $d$。

我們知道，

n 項和 $S_{n} =\frac{n}{2}(2a+(n-1)d)$

$S_{7}=\frac{7}{2}[2(a)+(7-1)d]$

$49=\frac{7}{2}(2a+6d)$

$49=7(a+3d)$

$a+3d=7$

$a=7-3d$......(i)

$S_{17}=\frac{17}{2}[2(a)+(17-1)d]$

$289=\frac{17}{2}(2a+16d)$

$289=17(a+8d)$

$a+8d=17$

$7-3d+8d=17$       (由 (i) 式)

$5d=17-7$

$d=\frac{10}{5}$

$d=2$

這意味著，

$a=7-3(2)$

$a=7-6$

$a=1$

n 項和 $S_n=\frac{n}{2}(2a+(n-1)d)$

$S_n=\frac{n}{2}[2(1)+(n-1)2]$

$=n(1+n-1)$

$=n^2$

因此，n 項和為 $n^2$。  

教程點

更新於： 2022年10月10日

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