一個等差數列的首項和末項分別為 7 和 49。如果所有項的和為 420，求其公差。

已知

一個等差數列的首項和末項分別為 7 和 49。如果所有項的和為 420。

要求

我們必須找到它的公差。

解答

設 $a$ 為首項，$d$ 為公差，$n$ 為項數。

首項 $a=7$

末項 $l=49$

等差數列的和 $S_{n}=420$

我們知道，

$l=a_{n}=a+(n-1)d$

$\Rightarrow 49=7+(n-1)d$

$\Rightarrow ( n-1) d=49-7$

$\Rightarrow (n-1)d=42$........(i)

等差數列 $n$ 項和 $S_{n} =\frac{n}{2}[ 2a+( n-1) d]$

$\Rightarrow 420=\frac{n}{2}[2(7)+42]$                  (根據 (i))

$\Rightarrow 420=n(7+21)$

$\Rightarrow n=\frac{420}{28}$

$n=15$

這意味著，

$(15-1)d=42$

$\Rightarrow 14d=42$

$\Rightarrow d=\frac{42}{14}$

$\Rightarrow d=3$

因此，給定等差數列的公差為 $3$。 

教程點

更新於: 2022年10月10日

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