一個等差數列的首項和末項分別為 5 和 45。如果所有項的和為 400，求它的公差。

已知：一個等差數列，首項和末項分別為 5 和 45。所有項的和 = 400。

求解：求它的公差。

設 $a$ 為首項，$d$ 為公差。

假設給定的等差數列有 $n$ 項。

根據題意，

首項 $a=5$

末項 $l=45$

等差數列的和 $S_{n}=400$

$n=?$

根據題設條件，

末項 $l=a_{n}=a+(n-1)d$

$\Rightarrow 45=5+(n-1)d$

$\Rightarrow ( n-1) d=40\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ .................( 1)$

所有項的和 $S_{n} =\frac{n}{2}[ 2a+( n-1) d]$

$\Rightarrow \frac{n}{2}[ 2\times 5+40] =400 \ \ \ \ \ ( \because ( n-1) d=40\ from\ ( 1)$

$\Rightarrow 50n=800$

$\Rightarrow n=\frac{800}{50} =16$

$n=16$，將 $n$ 的值代入 $( 1)$，

$( 16-1) d=40$

$\Rightarrow 15d=40$

$\Rightarrow d=\frac{40}{15}$

$\Rightarrow d=\frac{8}{3}$

因此，給定等差數列的公差為 $\frac{8}{3} $。