如果一個等差數列前p項的和為$ap^{2} +bp$，求其公差。

已知：前p項之和$=ap^{2} +bp$

要求：求其公差。

已知等差數列前p項之和為$ap^{2} +bp$

設該等差數列的首項為x，公差為y。

則該等差數列的和為$\frac{p}{2} \ [ 2x+( p-1) y]$

$\Rightarrow $ 已知和 $ap^{2} +bp=\ \frac{p}{2}[ 2x+( p-1) y]$

$\Rightarrow  2ap^{2} +2bp=p[ 2x+( p-1) y]$

$\Rightarrow  2p( ap+b) =p[ 2x+( p-1) y]$

$\Rightarrow 2ap+2b=2x+( p-1) \ y$

$\Rightarrow \ \ \ \ \ 2b+2ap=( 2x-y) +\ py$

比較兩邊各項係數

$\Rightarrow 2a=y$

$2x-y=2b$

$\Rightarrow  2x=2b+y$

$\Rightarrow  2x=2b+2a$                                $( 將2a=y代入)$

$\Rightarrow x=a+b$

因此公差y=2a

首項$x=a+b$