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法學首項為 8，公差為 20 的等差數列前 n 項和等於首項為 -30，公差為 8 的另一個等差數列前 2n 項和。求 n。
已知
首項為 8，公差為 20 的等差數列前 n 項和等於首項為 -30，公差為 8 的另一個等差數列前 2n 項和。
要求：
我們需要求出 n 的值。
解題步驟
設第一個等差數列為 $A_1$，第二個等差數列為 $A_2$。
第一個等差數列的首項 $a = 8$
第一個等差數列的公差 $d = 20$
設第一個等差數列的項數為 $n$
等差數列前 n 項和公式，$S_n=\frac{n}{2}[2a+(n-1)d]$
$=\frac{n}{2}[2\times8+(n-1)20]$
$=\frac{n}{2}(16+20n-20)$
$=\frac{n}{2}(20 n-4)$
$=n(10 n-2)$......(i)
第二個等差數列的首項 \( \left(a^{\prime}\right)=-30 \)
第二個等差數列的公差 \( \left(d^{\prime}\right)=8 \)
\( \therefore \) 第二個等差數列前 \( 2 n \) 項和，
\( \mathrm{S}_{2 n}=\frac{2 n}{2}\left[2 a^{\prime}+(2 n-1) d^{\prime}\right] \)
\( =n[2(-30)+(2 n-1) 8] \)
\( =n[-60+16 n-8] \)
\( =n[16 n-68] \)......(ii)
根據題意，
第一個等差數列前 n 項和 = 第二個等差數列前 2n 項和
\( \Rightarrow \mathrm{S}_{n}=\mathrm{S}_{2 n} \)
\( \Rightarrow n(10 n-2)=n(16 n-68) \)
\( \Rightarrow n[(16 n-68)-(10 n-2)]=0 \)
\( \Rightarrow n(16 n-68-10 n+2)=0 \)
\( \Rightarrow n(6 n-66)=0 \)
\( 6n=66 \) 或 \( n=0 \) (不可能)
\( \therefore n=11 \)
因此，n 的值為 11。
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