在一個等差數列中，如果首項是22，公差是$-4$，且前n項的和是64，求$n$。

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已知條件

在一個等差數列中，首項是22，公差是$-4$，前$n$項的和是64。

要求

我們必須求出$n$的值。

解答

設首項為$a$，公差為$d$。

首項 $a=22$

公差 $d=-4$

前n項和 $S_{n} =64$

我們知道：

前$n$項和 $S_{n} =\frac{n}{2}( 2a+(n-1)d)$

$\Rightarrow 64=\frac{n}{2}[2(22)+(n-1)(-4)]$

$\Rightarrow 64=\frac{n}{2}(44-4n+4)$

$\Rightarrow 64=\frac{n}{2}(48-4n)$

$\Rightarrow 64=(n)(24-2n)$

$\Rightarrow 32=(n)(12-n)$

$\Rightarrow 12n-n^2=32$ 

$\Rightarrow n^2-12n+32=0$

$\Rightarrow n^2-8n-4n+32=0$

$\Rightarrow n(n-8)-4(n-8)=0$

$\Rightarrow (n-8)(n-4)=0$

$\Rightarrow n=8$ 或 $n=4$

$n$的值為4或8。