如果等差數列（A.P.）前n項的和為4n – n²，則第一項是多少？前兩項的和是多少？第二項是多少？同樣地，求第三項、第十項和第n項。

已知

等差數列前n項的和為4n-n²。

要求

我們需要求出第一項、前兩項之和、第二項、第三項、第十項和第n項。

解答

S_n = 4n - n²

當n=1時，S₁ = 4 × 1 - 1² = 4 - 1 = 3

因此，第一項a = 3

當n=2時，S₂ = 4 × 2 - 2² = 8 - 4 = 4

∴ 等差數列的第二項 = S₂ - S₁ = 4 - 3 = 1

$=4-3$

$=1$

等差數列的公差d = 第二項 - 第一項 = 1 - 3 = -2

$=1-3=-2$

我們知道：

a_n = a + (n-1)d

a₂ = a + d = 3 + (-2) = 3 - 2 = 1

a₃ = a + 2d = 3 + 2(-2) = 3 - 4 = -1

a₁₀ = a + (10-1)d = 3 + 9(-2) = 3 - 18 = -15

a_n = a + (n-1)d = 3 + (n-1)(-2)

= 3 - 2n + 2

= 5 - 2n

因此，第一項是3，第二項是1，第三項是-1，第十項是-15，第n項是5-2n，前兩項之和是4。

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更新於：2022年10月10日

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