如果等差數列(AP)前n項的和為$4n - n^2$，那麼第一項（即$S_1$）是多少？前兩項的和是多少？第二項是多少？同樣地，求出第三項、第十項和第n項。

已知

等差數列前$n$項的和為$4n-n^{2}$。

要求

我們必須找到第一項（即$S_1$）、前兩項的和、第二項、第三項、第十項和第$n$項。

解答

$S_{n} =4n-n^{2}$

當$n=1$時，$S_{1} =4\times 1 -1^2=4-1=3$

因此，第一項$a=3$

當$n=2$時，$S_{2} =4\times 2-2^{2}=8-4=4$

$\therefore$ 等差數列的第二項$=S_{2} -S_{1} = 4 - 3 = 1$

$=4-3$

$=1$

等差數列的公差，$d=$第二項$-$第一項$= 1 - 3 = -2$

$=1-3=-2$

我們知道：

$a_{n}=a+(n-1)d$

$a_{2}=a+d=3+(-2)=3-2=1$

$a_3=a+2d=3+2(-2)=3-4=-1$

$a_{10}=a+(10-1)d=3+9(-2)=3-18=-15$

$a_n=a+(n-1)d=3+(n-1)(-2)$

$=3-2n+2$

$=5-2n$

因此，第一項是$3$，第二項是$1$，第三項是$-1$，第十項是$-15$，第$n$項是$5-2n$，前兩項的和是$4$。

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更新於：2022年10月10日

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