一個等差數列的前 7 項和為 49，前 17 項和為 289。求前 n 項和。

已知：一個等差數列的前 7 項和為 49，前 17 項和為 289

要求：求前 n 項和。

解答
$S_7 ​ =49$ 且 $S_17 ​ =289$

利用公式 $S_n ​ = \frac{n}{2} ​ [2a+(n−1)d]$，我們有：

$S_7 ​ = \frac{7}{2} ​ [2a+(7−1)d]=49$

⇒$49= \frac{7}{2} ​ [2a+(7−1)d]$

⇒$49= \frac{7}{2} ​ (2a+6d)$

⇒$7=a+3d$

⇒$a+3d=7$...................(i)

$S_17 ​ = \frac{17}{2} ​ [2a+(17−1)d]=289$

⇒$289= \frac{17}{2} ​ [2a+(17−1)d]$

⇒$289= \frac{17}{2} ​ (2a+16d)$

⇒$17=a+8d$

⇒$a+8d=17$......................(ii)

用 (ii) 式減去 (i) 式，得到

$5d=10$ 或 $d=2$

從方程 (i)，

$a+3(2)=7$

$a+6=7$ 或 $a=1$

$S_n ​ = \frac{n}{2} ​ [2(1)+(n−1)2]$

=$ \frac{n}{2} ​ [2+(n−1)2]$

= $\frac{n}{2} (2+2n−2)=n^2$

因此，前 n 項和為 $n^2$。 

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更新於： 2022年10月10日

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