等差數列 (AP) 前 \( n \) 項的和由 \( \mathrm{S}_{n}=4 n^{2}+n \)給出。求該等差數列。
已知：
$S_n=4 n^{2}+n $
求解：
我們需要找到這個等差數列。
解答
讓我們求前1項的和
$S_1=4 (1)^{2}+(1)=4+1=5$
讓我們求前兩項的和
$S_2=4 (2)^{2}+(2)=16+2=18$
我們知道：
$S_1=a_1=5$
$S_2=a_1+a_2=18$
$S_2-S_1=a_1+a_2-a_1$
$18-5=a_2$
$a_2=13$
我們知道 $d=a_2-a_1$
d=$13-5=8$
這意味著：
$a_3=a_2+d=13+8=21$
$a_4=a_3+d=21+8=29$
所求的等差數列是 $5, 13, 21, 29,.....$
- 相關文章
- 在一個等差數列中，如果 \( \mathrm{S}_{n}=n(4 n+1) \)，求該等差數列。
- 已知等差數列前 \( n \) 項的和用 \( \mathrm{S}_{n} \)表示，證明對於任何等差數列，\( \mathrm{S}_{12}=3\left(\mathrm{~S}_{8}-\mathrm{S}_{4}\right) \)都成立。
- 一個等差數列前7項的和是49，前17項的和是289。求前n項的和。
- 一個等差數列，首項為8，公差為20，前 \( n \) 項的和等於另一個等差數列前 \( 2 n \) 項的和，另一個等差數列的首項為 \( -30 \)，公差為8。求 \( n \) 的值。
- 如果一個等差數列前7項的和是49，前17項的和是289，求前n項的和。
- 對於一個等差數列，如果第m項的m倍等於第n項的n倍，證明該等差數列的第\( (m+n) \)項為零。\( (m ≠ n) \).
- 在一個等差數列中：(i) 已知 \( a=5, d=3, a_{n}=50 \)，求 \( n \) 和 \( S_{n} \)。(ii) 已知 \( a=7, a_{13}=35 \)，求 \( d \) 和 \( \mathrm{S}_{13} \)。(iii) 已知 \( a_{12}=37, d=3 \)，求 \( a \) 和 \( \mathrm{S}_{12} \)。(iv) 已知 \( a_{3}=15, \mathrm{~S}_{10}=125 \)，求 \( d \) 和 \( a_{10} \)。(v) 已知 \( d=5, \mathrm{~S}_{9}=75 \)，求 \( a \) 和 \( a_{9} \)。(vi) 已知 \( a=2, d=8, \mathrm{~S}_{n}=90 \)，求 \( n \) 和 \( a_{n} \)。(vii) 已知 \( a=8, a_{n}=62, \mathrm{~S}_{\mathrm{n}}=210 \)，求 \( n \) 和 \( d \)。(viii) 已知 \( a_{n}=4, d=2, \mathrm{~S}_{n}=-14 \)，求 \( n \) 和 \( a \)。(ix) 已知 \( a=3, n=8, \mathrm{~S}=192 \)，求 \( d \)。(x) 已知 \( l=28, S=144 \)，共有9項。求 \( a \)。
- 如果 \( S_{n} \) 表示等差數列前 \( n \) 項的和，證明\( S_{12}=3\left(S_{8}-S_{4}\right) \)
- 判斷以下說法是否正確：以下式子是等差數列的第 \( n^{\text {th }} \) 項。\( 1+n+n^{2} \)
- 如果等差數列前n項的和為$\frac{1}{2}(3n^2+7n)$，求其第n項。從而求其第20項。
- 如果等差數列前n項的和為$4n - n^2$，則首項 (即 $S_1$) 是多少？前兩項的和是多少？第二項是多少？同理，求第三項、第十項和第n項。
- 如果等差數列前n項的和是$n^2$，求其第10項。
- 求和：\( 4-\frac{1}{n}+4-\frac{2}{n}+4-\frac{3}{n}+\ldots \) 直到第 \( n \) 項
- 一個等差數列的第12項是4，第20項是-20。求該等差數列的第n項。
- 判斷以下說法是否正確：以下式子是等差數列的第 \( n^{\text {th }} \) 項。\( 2 n-3 \)
資料結構
網路
關係資料庫管理系統 (RDBMS)
作業系統
Java
MS Excel
iOS
HTML
CSS
Android
Python
C語言程式設計
C++
C#
MongoDB
MySQL
Javascript
PHP
物理
化學
生物
數學
英語
經濟學
心理學
社會學
服裝設計
法律研究