如果\( S_{n} \)表示一個等差數列前\( n \)項的和
\( S_{12}=3\left(S_{8}-S_{4}\right) \)

已知

需要證明

我們需要證明 $S_{12} = 3(S_8 – S_4)$。

解

設 $a$ 為首項，$d$ 為公差。

我們知道，

$\mathrm{S}_{n}=\frac{n}{2}[2 a+(n-1) d]$

$S_{4}=\frac{4}{2}[2 \times a+(4-1) \times d]$

$=2[2a+3d]$

$=4a+6d$......(i)

$S_{8}=\frac{8}{2}[2 \times a+(8-1) \times d]$

$=4[2a+7d]$

$=8a+28d$......(ii)

$S_{12}=\frac{12}{2}[2 \times a+(12-1) \times d]$

$=6[2a+11d]$

$=12a+66d$......(iii)

由 (i) 和 (ii)

$3(S_8-S_4)=3[8a+28d-(4a+6d)]$

$=3(8a+28d-4a-6d)$

$=3(4a+22d)$

$=12a+66d$

$=S_{12}$       (由 (iii))

因此得證。  

Tutorialspoint

更新於: 2022年10月10日

32 次瀏覽

開啟你的 職業生涯

完成課程獲得認證

開始學習