如果 $S_n$ 表示等差數列前 $n$ 項的和，證明 $S_{30} = 3 (S_{20} – S_{10})$。

已知

要求

我們必須證明 $S_{30} = 3(S_{20} – S_{10})$。

解答

設 $a$ 為首項，$d$ 為公差。

我們知道，

$\mathrm{S}_{n}=\frac{n}{2}[2 a+(n-1) d]$

$S_{10}=\frac{10}{2}[2 \times a+(10-1) \times d]$

$=5[2a+9d]$

$=10a+45d$......(i)

$S_{20}=\frac{20}{2}[2 \times a+(20-1) \times d]$

$=10[2a+19d]$

$=20a+190d$......(ii)

$S_{30}=\frac{30}{2}[2 \times a+(30-1) \times d]$

$=15[2a+29d]$

$=30a+435d$......(iii)

由 (i) 和 (ii)

$3(S_{20}-S_{10})=3[20a+190d-(10a+45d)]$

$=3(20a+190d-10a-45d)$

$=3(10a+145d)$

$=30a+435d$

$=S_{30}$       (由 (iii))

證畢。 

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更新於：2022年10月10日

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