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法律研究在等差數列中，如果$S_{5} + S_{7} = 167$ 且 $S_{10} = 235$，則求該等差數列，其中 $S_{n}$ 表示其前 n 項的和。
已知：在一個等差數列中，$S_{5} + S_{7} = 167$ 且 $S_{10} = 235$，其中 $S_{n}$ 表示其前 n 項的和。
求解：求該等差數列。
解
已知，如果 a 是等差數列的首項，d 是公差。
則前 n 項的和，$S_{n} = \frac{n}{2}[2a + (n-1)d]$
$\therefore S_{5} = \frac{5}{2}[2a + (5-1)d]$
$S_{5} = \frac{5}{2}(2a + 4d) .............(1)$
且 $S_{7} = \frac{7}{2}[2a + (7-1)d]$
$S_{7} = \frac{7}{2}(2a + 6d) ..............(2)$
已知，
$S_{5} + S_{7} = 167$
$\Rightarrow \frac{5}{2}(2a + 4d) + \frac{7}{2}(2a + 6d) = 167$
$\Rightarrow \frac{5(2a + 4d) + 7(2a + 6d)}{2} = 167$
$\Rightarrow \frac{10a + 20d + 14a + 42d}{2} = 167$
$\Rightarrow \frac{24a + 62d}{2} = 167$
$\Rightarrow 24a + 62d = 167 \times 2$
$\Rightarrow 24a + 62d = 334 ................(3)$
且 $S_{10} = \frac{10}{2}[2a + (10-1)d]$
$\Rightarrow 235 = \frac{10}{2}[2a + (10-1)d]$
$\Rightarrow 2a + 9d = 47 ................(4)$
將方程(4)乘以12，得到
$24a + 108d = 564 ................(5)$
用(5)減去(3)，得到
$24a + 108d - 24a - 62d = 564 - 334$
$\Rightarrow 46d = 230$
$\Rightarrow d = \frac{230}{46} = 5$
將 d 的值代入(4)，得到
$2a + 9 \times 5 = 47$
$\Rightarrow 2a + 45 = 47$
$\Rightarrow 2a = 47 - 45 = 2$
$\Rightarrow 2a = 2$
$\Rightarrow a = 1$
因此，該等差數列為 1, 6, 11, 16, ……
更新於：2022年10月10日
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