在等差數列中，如果\( S_{n}=3 n^{2}+5 n \) 且 \( a_{k}=164 \)，求\( k \)的值。

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已知

在等差數列中，\( S_{n}=3 n^{2}+5 n \) 且 \( a_{k}=164 \)

求解

我們需要求出k。

解法

設a為首項，d為公差。

令n=1, 2，求a和d的值

S₁=3(1)²+5(1)

$=3+5$

$=8$

⇒ a₁=a=8

S₂=3(2)²+5(2)

$=12+10$

$=22$

第二項 a₂=S₂-S₁

$=22-8$

$=14$

因此，

d=a₂-a₁ = 14-8=6

$=14-8$

$=6$

我們知道，

第n項 aₙ=a+(n-1)d

aₖ=a+(k-1)d

164=8+(k-1)6

164-8=(k-1)6

156=(k-1)6

k-1=26

k=26+1

k=27

因此，k=27。