如果 $1+2+3+........+n=78$，求 $n$ 的值。

已知：一個等差數列 $1+2+3+........+n=78$

求解：求 $n$ 的值。

解：

已知 $1+2+3+........+n=78$

這裡 $a=1$，$d=1$，等差數列 $n$ 項的和 $S_n=78$，項數 $=n$。

已知 $S_n=\frac{n}{2}[2a+( n-1)d]$

代入數值，

$78=\frac{n}{2}[2\times1+( n-1)1]$

$\Rightarrow \frac{n}{2}[n+1]=78$

$\Rightarrow \frac{n^2+n}{2}=78$

$\Rightarrow n^2+n=156$

$\Rightarrow n^2+n-156=0$

$\Rightarrow n^2+13n-12n-156=0$

$\Rightarrow n( n+13)-12( n+13)=0$

$\Rightarrow ( n-12)( n+13)=0$

$\Rightarrow n=12,\ n=-13$

因為 $n$ 是自然數，所以不能為負數。

$\therefore\ n=12$

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更新於：2022年10月10日

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