如果 $l+m+n=9$ 且 $l^2+m^2+n^2=31$，則求 $lm + mn + nl$ 的值。

已知：$l+m+n=9$ 和 $l^2+m^2+n^2=31$。

要求：求 $lm + mn + nl$ 的值。

解答
 

如已知，$l+m+n=9$ ......... $( i)$

$l^2+m^2+n^2=31$ ........ $( ii)$

將方程 $( i)$ 兩邊平方

$( l+m+n)^2=9^2$

$\Rightarrow l^2+2l( m+n)+( m+n)^2=81$

$\Rightarrow l^2+2lm+2ln+m^2+n^2+2mn=81$

$\Rightarrow l^2+m^2+n^2+2( lm+mn+nl)=81$

$\Rightarrow 31+2( lm+mn+nl)=81$

$\Rightarrow 2( lm+mn+nl)=81-31$

$\Rightarrow 2( lm+mn+nl)=50$

$\Rightarrow ( lm+mn+nl)=\frac{50}{2}$

$\Rightarrow ( lm+mn+nl)=25$

因此，$( lm+mn+nl)=25$

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更新於： 2022年10月10日

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