設一等差數列的首項為‘$a$’，公差為‘$d$’。如果$a_n$表示它的第$n$項，$S_n$表示前$n$項的和，求$n$和$a_n$，已知$a = 2, d = 8$且$S_n = 90$。

已知

$a_n$表示它的第$n$項，$S_n$表示前$n$項的和。

求解

我們要求$n$和$a_n$，已知$a = 2, d = 8$且$S_n = 90$。

解答

我們知道：

$\mathrm{S}_{n}=\frac{n}{2}[2 a+(n-1) d]$

第$n$項 $a_n=a+(n-1)d$

這意味著：

$a_n=2+(n-1)8$

$=2+8n-8$

$=8n-6$........(i)

$S_n=\frac{n}{2}[2 \times 2+(n-1)8]$

$90=\frac{n}{2}[4+8n-8]$        (由(i)式)

$90(2)=n(8n-4)$

$180=4n(2n-1)$

$n(2n-1)=45$

$2n^2-n-45=0$

$2n^2-10n+9n-45=0$

$2n(n-5)+9(n-5)=0$

$(2n+9)(n-5)=0$

$n=5$ 或 $2n=-9$，後者不可能，因為$n$不能為負數。

$\therefore n=5$

這意味著：

$a_n=8(5)-6$

$=40-6$

$=34$

因此，$n=5$ 且 $a_n=34$。  

教程點

更新於：2022年10月10日

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