若一個等差數列前 \( n \) 項的和記為 \( \mathrm{S}_{n} \)，證明對於任意等差數列，都有 \( \mathrm{S}_{12}=3\left(\mathrm{~S}_{8}-\mathrm{S}_{4}\right) \)。

已知： 

一個等差數列前 \( n \) 項的和記為 \( \mathrm{S}_{n} \)。

要求： 

我們必須證明對於任意等差數列，都有 \( \mathrm{S}_{12}=3\left(\mathrm{~S}_{8}-\mathrm{S}_{4}\right) \)。

解答

設首項為 $a$，公差為 $d$。

我們知道，

$\mathrm{S}_{n}=\frac{n}{2}[2 a+(n-1) d]$

這意味著，

$\mathrm{S}_{12}=\frac{12}{2}[2 a+(12-1) d]$

$\mathrm{S}_{12}=6[2 a+11 d]$

$\mathrm{S}_{12}=12 a+66 d$.........(i)

$\mathrm{S}_{8}=\frac{8}{2}[2 a+(8-1) d]$

$\mathrm{S}_{8}=4[2 a+7 d]$

$\mathrm{S}_{8}=8 a+28 d$............(ii)

$S_{4}=\frac{4}{2}[2 a+(4-1) d]$

$\mathrm{S}_{4}=2[2 a+3 d]$

$S_{4}=4 a+6 d$.........(iii)

因此，

$3(\mathrm{~S}_{8}-\mathrm{S}_{4})=3(8 a+28 d-4 a-6 d)$

$=3(4 a+22 d)$

$=12 a+66 d$

因此， $3(S_{8}-S_{4})=S_{12}$。

更新於： 2022年10月10日

51 次瀏覽

開啟你的 職業生涯

完成課程獲得認證

開始學習
廣告