求該級數的前 n 項和\( \left(4-\frac{1}{n}\right)+\left(4-\frac{2}{n}\right)+\left(4-\frac{3}{n}\right)+\ldots . \)

已知

給定的級數是 \( \left(4-\frac{1}{n}\right)+\left(4-\frac{2}{n}\right)+\left(4-\frac{3}{n}\right)+\ldots . \)

要求

我們需要求該級數的 n 項和。

解

設給定等差數列的項數為 n，首項為 a，公差為 d。

首項 $a_1=a=4-\frac{1}{n}$

第二項 $a_2= 4-\frac{2}{n}$

公差 $d=a_2-a_1=4-\frac{2}{n}-(4-\frac{1}{n})=\frac{-2+1}{n}=\frac{-1}{n}$

我們知道，

n 項和 $S_{n} =\frac{n}{2}(2a+(n-1)d)$

$=\frac{n}{2}[2(4-\frac{1}{n})+(n-1)(\frac{-1}{n})]$

$=\frac{n}{2}[\frac{8n-2-n+1}{n}]$

$=\frac{n}{2}(\frac{7n-1}{n})$

$=\frac{7n-1}{2}$

因此，該級數的 n 項和為 $\frac{7n-1}{2}$.   

教程點

更新於: 2022年10月10日

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