簡化
\( \left[\left(\frac{1}{3}\right)^{-1}-\left(\frac{2}{5}\right)^{-1}\right]^{-2} \div\left(\frac{3}{4}\right)^{-3} \)

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已知

\( \left[\left(\frac{1}{3}\right)^{-1}-\left(\frac{2}{5}\right)^{-1}\right]^{-2} \div\left(\frac{3}{4}\right)^{-3} \)

要求

我們要求簡化 \( \left[\left(\frac{1}{3}\right)^{-1}-\left(\frac{2}{5}\right)^{-1}\right]^{-2} \div\left(\frac{3}{4}\right)^{-3} \).

解答

我們知道：

$a^{-m}=\frac{1}{a^m}$

$a^m \times a^n=a^{m+n}$

$a^{m}\div a^{n}=a^{m-n}$

因此：

$[(\frac{1}{3})^{-1}-(\frac{2}{5})^{-1}]^{-2} \div(\frac{3}{4})^{-3}=[(\frac{3}{1})^{1}-(\frac{5}{2})^{1}]^{-2} \div(\frac{4}{3})^{3}$

$=[3-\frac{5}{2}]^{-2} \times(\frac{3}{4})^{3}$

$=(\frac{6-5}{2})^{-2}\times(\frac{3}{4})^{3}$

$=(\frac{1}{2})^{-2}\times(\frac{3}{4})^{3}$

$=(\frac{2}{1})^{2}\times(\frac{3}{4})^{3}$

$=2^2\times(\frac{3}{4})^{3}$

$=4\times\frac{27}{64}$

$=\frac{27}{16}$

因此，$[(\frac{1}{3})^{-1}-(\frac{2}{5})^{-1}]^{-2} \div(\frac{3}{4})^{-3}= \frac{27}{16}$。