求和
\( 4-\frac{1}{n}+4-\frac{2}{n}+4-\frac{3}{n}+\ldots \) 直到 \( n \) 項

已知

已知數列為 \( \left(4-\frac{1}{n}\right)+\left(4-\frac{2}{n}\right)+\left(4-\frac{3}{n}\right)+\ldots . \)

求解

我們需要求這個數列的n項和。

解法

設該等差數列的項數為 $n$，首項為 $a$，公差為 $d$。

首項 $a_1=a=4-\frac{1}{n}$

第二項 $a_2= 4-\frac{2}{n}$

公差 $d=a_2-a_1=4-\frac{2}{n}-(4-\frac{1}{n})=\frac{-2+1}{n}=\frac{-1}{n}$

我們知道：

n項和 $S_{n} =\frac{n}{2}(2a+(n-1)d)$

$=\frac{n}{2}[2(4-\frac{1}{n})+(n-1)(\frac{-1}{n})]$

$=\frac{n}{2}[\frac{8n-2-n+1}{n}]$

$=\frac{n}{2}(\frac{7n-1}{n})$

$=\frac{7n-1}{2}$

因此，該數列的n項和為 $\frac{7n-1}{2}$。

教程點

更新於：2022年10月10日

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