對於一個等差數列，如果第m項的m倍等於第n項的n倍，證明該等差數列的第(m+n)項為零。(m ≠ n)

已知：

等差數列的第m項的m倍等於第n項的n倍。

要求：

我們必須證明等差數列的第(m+n)項為零。

解答

等差數列的第n項 = t_n = a + (n-1)d

等差數列的第m項 = t_m = a + (m-1)d

等差數列的第(m+n)項 = a + [(m+n)-1]d

根據題意，

⇒ m × t_m = n × t_n

⇒ m[a + (m-1)d] = n[a + (n-1)d]

⇒ m[a + (m-1)d] - n[a + (n-1)d] = 0

⇒ a(m-n) + d[(m² - n²) - (m - n)] = 0

⇒ (m-n)[a + d(m + n - 1)] = 0

⇒ a + [(m+n)-1]d = 0

證畢。

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更新於：2022年10月10日

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