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法律研究如果一個等差數列的第 m 項是 1/n，另一個等差數列的第 n 項是 1/m，則證明它們的第 (mn) 項等於 1。
已知：等差數列的第 m 項為 1/n，另一個等差數列的第 n 項為 1/m。
要求：證明第 (mn) 項等於 1。
解答
已知，第 m 項 am = 1/n，第 n 項 an = 1/m
設 a 和 d 分別為等差數列的首項和公差。
⇒ am = a + (m-1)d = 1/n ..........(1)
且，an = a + (n-1)d = 1/m .......(2)
用 (2) 式減去 (1) 式，得到：
md - d - nd + d = 1/n - 1/m
⇒ d(m - n) = (m - n) / mn
⇒ d = 1 / mn
將此值代入 (1) 式或 (2) 式，得到：
a = 1 / mn
設 A 為等差數列的第 mn 項。
A = a + (mn - 1)d = 1/mn + (mn - 1)(1/mn) = 1
證畢。
更新於：2022年10月10日
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