如果一個等差數列的第$(m+1)$項是第$(n+1)$項的兩倍，證明第$(3m+1)$項是第$(m+n+1)$項的兩倍。

已知

一個等差數列的第$(m+1)$項是第$(n+1)$項的兩倍。

要求

我們必須證明第$(3m+1)$項是第$(m+n+1)$項的兩倍。

解答

設所求等差數列為$a, a+d, a+2d, ......$

這裡，

$a_1=a, a_2=a+d$，公差$=a_2-a_1=a+d-a=d$

我們知道，

$a_n=a+(n-1)d$

因此，

$a_{(m+1)}=a+(m+1-1)d$

$=a+md$

$a_{(n+1)}=a+(n+1-1)d$

$=a+nd$

根據題意，

$a_{(m+1)}=2\times a_{(n+1)}$

$a+md=2(a+nd)$

$a+md=2a+2nd$

$2a-a=md-2nd$

$a=(m-2n)d$......(i)

$a_{(3m+1)}=a+(3m+1-1)d$

$=a+3md$

$=md-2nd+3md$      (由(i))

$=4md-2nd$

$=2d(2m-n)$....(ii)

$a_{(m+n+1)}=a+(m+n+1-1)d$

$=a+(m+n)d$

$=md-2nd+md+nd$

$=2md-nd$

$=d(2m-n)$.....(iii)

由(ii)和(iii)，我們得到，

$a_{(3m+1)}=2\times a_{(m+n+1)}$

證畢。

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更新於：2022年10月10日

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