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法律研究一個等差數列（AP）的第 5 項和第 9 項之和為 30，且第 25 項是第 8 項的三倍。求這個等差數列。
已知
一個等差數列的第 5 項和第 9 項之和為 30。
第 25 項是其第 8 項的三倍。
要求
我們需要找到這個等差數列。
解答：
設這個等差數列的第一項為 $a$，公差為 $d$。
我們知道，
第 n 項 $a_n=a+(n-1)d$
第 5 項 $a_5=a+(5-1)d=a+4d$
第 9 項 $a_9=a+(9-1)d=a+8d$
$a+4d+a+8d=30$ （已知）
$2a+12d=30$
$2(a+6d)=2(15)$
$a+6d=15$
$a=15-6d$....(i)
第 8 項 $a_8=a+(8-1)d=a+7d$
第 25 項 $a_{25}=a+(25-1)d=a+24d$
$a+24d=3(a+7d)$ （已知）
$a+24d=3a+21d$
$3a-a=24d-21d$
$2a=3d$
$2(15-6d)=3d$ （由 (i) 得）
$30-12d=3d$
$30=12d+3d$
$15d=30$
$d=\frac{30}{15}$
$d=2$
因此，
$a=15-6(2)=15-12=3$
$a_2=a+d=3+2=5$
$a_3=a+2d=3+2(2)=3+4=7$
$a_4=a+3d=3+3(2)=3+6=9$
所需的等差數列是 $3, 5, 7, 9, .....$。
更新於： 2022年10月10日
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