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法律研究一個等差數列的第 4 項和第 8 項的和為 24。類似地，它的第 6 項和第 10 項的和為 34。求這個等差數列的首項 \( a \) 和公差 \( d \)。
已知
一個等差數列的第 4 項和第 8 項的和為 24，第 6 項和第 10 項的和為 34。
要求
我們需要求出這個等差數列的首項 \( a \) 和公差 \( d \)。
解
設等差數列的首項為 $a$，公差為 $d$。
我們知道，
等差數列的第 n 項 $a_n=a+(n-1)d$
因此，
$a_{4}=a+(4-1)d$
$=a+3d$......(i)
$a_{8}=a+(8-1)d$
$=a+7d$......(ii)
根據題意，
$a_4+a_8=a+3d+a+7d$
$24=2a+10d$
$24=2(a+5d)$
$12=a+5d$
$a=12-5d$......(iii)
$a_{6}=a+(6-1)d$
$=a+5d$......(iv)
$a_{10}=a+(10-1)d$
$=a+9d$......(v)
根據題意，
$a_6+a_{10}=a+5d+a+9d$
$34=2a+14d$
$34=2(a+7d)$
$17=a+7d$
$7d=17-(12-5d)$ (由 (iii) 得)
$7d=17-12+5d$
$7d-5d=5$
$2d=5$
$d=\frac{5}{2}$
這意味著，
$a=12-5(\frac{5}{2})$
$a=12-\frac{25}{2}$
$a=\frac{12\times2-25}{2}$
$a=\frac{24-25}{2}$
$a=\frac{-1}{2}$
因此，給定等差數列的首項($a$)和公差($d$)分別為 $\frac{-1}{2}$ 和 $\frac{5}{2}$。
更新時間： 2022-10-10
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