等差數列（AP）的第5項和第9項之和為30。如果它的第25項是其第8項的三倍，求該等差數列。

已知條件

等差數列的第5項和第9項之和為30。

第25項是其第8項的三倍。 

解題步驟

我們需要求出該等差數列。

解答： 

設該等差數列的首項為$a$，公差為$d$。

我們知道：

第n項 $a_n=a+(n-1)d$

第5項 $a_5=a+(5-1)d=a+4d$

第9項 $a_9=a+(9-1)d=a+8d$

$a+4d+a+8d=30$ (已知)

$2a+12d=30$

$2(a+6d)=2(15)$

$a+6d=15$

$a=15-6d$....(i)

第8項 $a_8=a+(8-1)d=a+7d$

第25項 $a_{25}=a+(25-1)d=a+24d$

$a+24d=3(a+7d)$ (已知)

$a+24d=3a+21d$

$3a-a=24d-21d$

$2a=3d$

$2(15-6d)=3d$ (由(i)式)

$30-12d=3d$

$30=12d+3d$

$15d=30$

$d=\frac{30}{15}$

$d=2$

因此：

$a=15-6(2)=15-12=3$

$a_2=a+d=3+2=5$

$a_3=a+2d=3+2(2)=3+4=7$

$a_4=a+3d=3+3(2)=3+6=9$

所以，該等差數列為 $3, 5, 7, 9, .....$。

教程點

更新於：2022年10月10日

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