等差數列（A.P.）的第 9 項等於其第 2 項的 6 倍。如果其第 5 項為 22，求該等差數列。

已知

等差數列的第 9 項等於其第 2 項的 6 倍。

第 5 項 $=22$

要求

我們需要找到該等差數列。

解答

設所求等差數列為 $a, a+d, a+2d, ......$

這裡，

$a_1=a, a_2=a+d$，公差 $=a_2-a_1=a+d-a=d$

我們知道，

$a_n=a+(n-1)d$

因此，

$a_{5}=a+(5-1)d$

$22=a+4d$

$a=22-4d$.....(i)

$a_{9}=a+(9-1)d$

$=a+8d$

$a_{2}=a+(2-1)d$

$=a+d$

根據題意，

$a_{9}=6\times a_2$

$a+8d=6(a+d)$

$a+8d=6a+6d$

$6a-a=8d-6d$

$5a=2d$

$5(22-4d)=2d$ (由 (i) 式)

$110-20d=2d$

$20d+2d=110$

$22d=110$

$d=\frac{110}{22}=5$

這意味著，

$a=22-4(5)$

$=22-20$

$=2$

因此，

$a_1=2$

$a_2=a+d=2+5=7$

$a_3=a+2d=2+2(5)=2+10=12$

$a_4=a+3d=2+3(5)=2+15=17$

因此，所求等差數列為 $2, 7, 12, 17,......$ 

教程點

更新於：2022年10月10日

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