如果等差數列的第 10 項的 10 倍等於第 15 項的 15 倍，證明該等差數列的第 25 項為零。

已知

等差數列的第 10 項的 10 倍等於第 15 項的 15 倍。

要求

我們必須證明該等差數列的第 25 項為零。

解答

設所求等差數列為 $a, a+d, a+2d, ......$

這裡，

$a_1=a, a_2=a+d$ 公差 $=a_2-a_1=a+d-a=d$

我們知道，

$a_n=a+(n-1)d$

因此，

$a_{10}=a+(10-1)d$

$=a+9d$

$10\times a_{10}=10(a+9d)$.....(i)

$a_{15}=a+(15-1)d$

$=a+14d$

$15\times a_{15}=15(a+14d)$....(ii)

由 (i) 和 (ii) 式，我們得到：

$10(a+9d)=15(a+14d)$

$2(a+9d)=3(a+14d)$

$2a+18d=3a+42d$

$3a-2a+42d-18d=0$

$a+24d=0$

$a+(25-1)d=0$

$\Rightarrow a_{25}=a+(25-1)d=0$

證畢。

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更新於：2022年10月10日

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