如果一個等差數列的第 9 項為零，證明其第 29 項是第 19 項的兩倍。

已知

等差數列的第 9 項為零。

要求

我們需要證明給定等差數列的第 29 項是第 19 項的兩倍。
解答

設所需的等差數列為 $a, a+d, a+2d, ......$

這裡，

$a_1=a, a_2=a+d$ 且公差 $=a_2-a_1=a+d-a=d$

我們知道，

$a_n=a+(n-1)d$

因此，

$a_9=a+(9-1)d$

$0=a+8d$

$a=-8d$.....(i)

$a_{19}=a+(19-1)d$

$=-8d+18d$    (由(i)得)

$=10d$....(ii)

$a_{29}=a+(29-1)d$

$=-8d+28d$    (由(i)得)

$=20d$....(iii)

$=2(10d)$

$=2(a_{19})$    (由 (ii)得)

這意味著，

$a_{29}=2\times a_{19}$

第 29 項是第 19 項的兩倍。

證畢。

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更新於: 2022 年 10 月 10 日

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