在一個等差數列中，第24項是第10項的兩倍。證明第72項是第34項的兩倍。

已知

在一個等差數列中，第24項是第10項的兩倍。

要求

我們必須證明第72項是第34項的兩倍。

解答

設所求等差數列為 $a, a+d, a+2d, ......$

這裡，

$a_1=a, a_2=a+d$ 公差 $=a_2-a_1=a+d-a=d$

我們知道，

$a_n=a+(n-1)d$

因此，

$a_{24}=a+(24-1)d$

$=a+23d$.....(i)

$a_{10}=a+(10-1)d$

$=a+9d$....(ii)

根據題意，

$a_{24}=2\times a_{10}$

$a+23d=2(a+9d)$ (由(i)和(ii))

$a+23d=2a+18d$

$2a-a=23d-18d$

$a=5d$.....(iii)

這意味著，

第34項 $a_{34}=a+(34-1)d$

$=a+33d$

$=5d+33d$ (由(iii))

$=38d$.....(iv)

第72項 $a_{72}=a+(72-1)d$

$=a+71d$

$=5d+71d$ (由(iii))

$=76d$

$=2(38d)$

$=2\times a_{34}$ (由(iv))

因此，第72項是第34項的兩倍。

證畢。

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更新於：2022年10月10日

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