等差數列(A.P.)的第4項是第一項的三倍，第7項比第三項的兩倍多1。求第一項和公差。

已知

等差數列的第4項是第一項的三倍，第7項比第三項的兩倍多1。

要求

我們必須找到第一項和公差。

解答

設給定等差數列的第一項、公差和項數分別為$a, d$和$n$。

我們知道：

等差數列的第n項 $a_n=a+(n-1)d$

因此：

第一項 $a_1=a$

$a_{4}=a+(4-1)d$

$=a+3d$.....(i)

$a_{7}=a+(7-1)d$

$=a+6d$....(ii)

$a_{3}=a+(3-1)d$

$=a+2d$....(iii)

根據題意：

$a_4=3\times a_1$

$a+3d=3a$

$3a-a=3d$

$2a=3d$

$a=\frac{3d}{2}$....(iv)

$a_7=2\times a_3+1$

$a+6d=2(a+2d)+1$

$a+6d=2a+4d+1$

$2a-a+1=6d-4d$

$a+1=2d$

$\frac{3d}{2}+1=2d$

$\frac{3d+2}{2}=2d$

$3d+2=2(2d)$

$3d+2=4d$

$4d-3d=2$

$d=2$....(v)

將$d=2$代入(iv)，得到：

$a=\frac{3(2)}{2}$

$a=3$

第一項是3，公差是2。

教程點

更新於：2022年10月10日

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